Дроби мы постоянно используем в жизни. Например, когда едим торт с друзьями. Торт можно разделить на 8 равных частей или на 8 долей . Доля – это равная часть от чего-то целого. Четыре друга съели по кусочку торта. Четыре взяли из восьми кусочков можно записать математически в виде обыкновенной дроби \(\frac{4}{8}\), читается дробь “четыре восьмых” или “четыре деленное на восемь”. Обыкновенную дробь еще называют простой дробью .

Дробная черта заменяет деление:
\(4 \div 8 = \frac{4}{8}\)
Это мы записали доли в дробях. В буквенном виде будет так:
\(\bf m \div n = \frac{m}{n}\)

4 – числитель или делимое, находится вверху над дробной чертой и показывает сколько частей или долей из общего было взято.
8 – знаменатель или делитель, находится внизу под дробной чертой и показывает общее количество частей или долей.

Если мы приглядимся внимательно, то увидим, что друзья съели половину торта или одну часть из двух. Запишем в виде обыкновенной дроби \(\frac{1}{2}\), читается “одна вторая”.

Рассмотрим еще пример:
Имеется квадрат. Квадрат разделили на 5 равных частей. Две части закрасили. Запишите дробь для закрашенных частей? Запишите дробь для не закрашенных частей?

Две части закрасили, а всего частей пять, поэтому дробь будет иметь вид \(\frac{2}{5}\), читается дробь “две пятых”.
Три части не закрасили, всего частей пять, поэтому дробь запишем так \(\frac{3}{5}\), читается дробь “три пятых”.

Разделим квадрат на более мелкие квадраты и запишем дроби, для закрашенных и не закрашенных частей.

Закрашенных 6 частей, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{6}{25}\) , читается дробь “шесть двадцать пятых”.
Не закрашенных 19 частей, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{19}{25}\), читается дробь “девятнадцать двадцать пятых”.

Закрашенных 4 части, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{4}{25}\), читается дробь “четыре двадцать пятых”.
Не закрашенных 21 частей, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{21}{25}\), читается дробь “двадцать один двадцать пятых”.

Любое натуральное число можно представить в виде дроби . Например:

\(5 = \frac{5}{1}\)
\(\bf m = \frac{m}{1}\)

Любое число делиться на единицу, поэтому это число можно представить в виде дроби.

Вопросы по теме “обыкновенные дроби”:
Что такое доля?
Ответ: доля – это равная часть от чего-то целого.

Что показывает знаменатель?
Ответ: знаменатель показывает на сколько всего частей или долей поделено.

Что показывает числитель?
Ответ: числитель показывает сколько частей или долей было взято.

Дорога составляла 100м. Миша прошел 31м. Запишите дробью выражение сколько прошел Миша?
Ответ:\(\frac{31}{100}\)

Что такое обыкновенная дробь?
Ответ: обыкновенная дробь – это отношение числителя к знаменателю, где числитель меньше знаменателя. Пример, обыкновенных дробей \(\frac{1}{4}, \frac{3}{7}, \frac{5}{13}, \frac{9}{11}…\)

Как перевести натуральное число в обыкновенную дробь?
Ответ: любое число можно записать в виде дроби, например, \(5 = \frac{5}{1}\)

Задача №1:
Купили 2кг 700г дыни. Мише отрезали \(\frac{2}{9}\) дыни. Чему равна масса отрезанного кусочка? Сколько граммов дыни осталось?

Решение:
Переведем килограммы в граммы.
2кг = 2000г
2000г + 700г = 2700г всего весит дыня.

Мише отрезали \(\frac{2}{9}\) дыни. В знаменателе стоит число 9, значит на 9 частей разделили дыню.
2700: 9 =300г масса одного кусочка.
В числители стоит число 2, значит надо Мише дать два кусочка.
300 + 300 = 600г или 300 ⋅ 2 = 600г столько дыни съел Миша.

Чтобы найти какая масса дыни осталась нужно вычесть от общей массы дыни съеденную массу.
2700 — 600 = 2100г осталось дыни.

Долей единицы и представляется в виде \frac{a}{b} .

Числитель дроби (a) — число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.

Знаменатель дроби (b) — число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.

Скрыть Показать

Основное свойство дроби

Если ad=bc , то две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} считаются равными. К примеру, равными будут дроби \frac35 и \frac{9}{15} , так как 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac{12}{7} и \frac{24}{14} , так как 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби \frac{a}{b} и \frac{am}{bm} , так как a(bm)=b(am) — наглядный пример применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел в действии.

Значит \frac{a}{b} = \frac{am}{bm} — так выглядит основное свойство дроби .

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, \frac{45}{60}=\frac{15}{20} (числитель и знаменатель делится на число 3 ); полученную дробь снова можно сократить, разделив на 5 , то есть \frac{15}{20}=\frac 34 .

Несократимая дробь — это дробь вида \frac 34 , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.

Приведение дробей к общему знаменателю

Возьмем в качестве примера две дроби: \frac{2}{3} и \frac{5}{8} с разными знаменателями 3 и 8 . Для того, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю и сначала перемножим числитель и знаменатель дроби \frac{2}{3} на 8 . Получаем следующий результат: \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24} . Затем умножаем числитель и знаменатель дроби \frac{5}{8} на 3 . Получаем в итоге: \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} . Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24 .

Арифметические действия над обыкновенными дробями

Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} ;

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :

\frac{7}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7 \cdot 4}{3}+\frac{1 \cdot 3}{4}=\frac{28}{12}+\frac{3}{12}=\frac{31}{12} .

Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b} ;

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .

Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d} ,

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

Например:

\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{8} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 8}=\frac{12}{40} .

Деление обыкновенных дробей

Деление дробей производят следующим способом:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{ad}{bc} ,

то есть дробь \frac{a}{b} умножается на дробь \frac{d}{c} .

Пример: \frac{7}{2} : \frac{1}{8}=\frac{7}{2} \cdot \frac{8}{1}=\frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1}=\frac{56}{2} .

Взаимно обратные числа

Если ab=1 , то число b является обратным числом для числа a .

Пример: для числа 9 обратным является \frac{1}{9} , так как 9 \cdot \frac{1}{9}=1 , для числа 5 — \frac{1}{5} , так как 5 \cdot \frac{1}{5}=1 .

Десятичные дроби

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Например: \frac{6}{10}=0,6;\enspace \frac{44}{1000}=0,044 .

Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.

Например: 5\frac{1}{10}=5,1;\enspace \frac{763}{100}=7\frac{63}{100}=7,63 .

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .

Пример: 5 — делитель числа 100 , поэтому дробь \frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20}=\frac{20}{100}=0,2 .

Арифметические действия над десятичными дробями

Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 .

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700 .

Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

2,8: 0,09= \frac{28}{10} : \frac {9}{100}= \frac{28 \cdot 100}{10 \cdot 9}=\frac{280}{9}=31 \frac{1}{9} .

, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели: знать термин “дробь”, его определение, уметь читать и записывать обыкновенные дроби, указывать знаменатель и числитель дроби, показывать соответствующую дробь геометрической фигуры; закреплять умение анализировать и решать задачи разного вида, соотношение единиц измерения величин; развивать речь, логическое мышление, память, внимание, навыки самоконтроля и самоанализа.

Оборудование: мультимедийная доска, проектор, презентация к уроку, учебник “Математика” - 4 класс, часть 1, под редакцией Л.Г. Петерсон.

Ход урока

1) Организационное начало.

Ребята, сегодня на уроке вы должны открыть новое знание, но как вам известно, каждое новое знание связано с тем, что мы уже изучили. Поэтому начнем с повторения. Перед тем, как приступить к работе вспомним: какие правила мы должны соблюдать на уроке? Ответы детей. Учитель выслушивает правила:

Слышать друг друга.

Дополнять.

Исправлять, помогать.

Вычислив значения выражений и расположив их в порядке возрастания, вы узнаете тему урока.

Как 1 разделить на 2? (Ответы детей)

Проблема?

4) Постановка учебной задачи.

Людям часто приходится делить целое на доли. Самая известная доля – это конечно, половина. Слово с приставкой “пол” можно услышать каждый день.

5) “Открытие” новых знаний.

Равные части арбуза – это доли. Арбуз разделили на 6 долей, то одна доля – “одна шестая арбуза”, а остальная часть – 5/6.

Отрезок разделили на 7 долей. Найти одну долю, две доли, пять долей, шесть долей, семь долей, восемь долей.

Записи вида 5/6 называют обыкновенными дробями. Числитель дроби – 5, знаменатель дроби – 6. Знаменатель дроби показывает на сколько долей делят, а числитель дроби – сколько таких долей взято.

Слайды 5-17.

Поиграем в игру “Доли”.

Найди дроби и щелкни по ней мышкой. (Ученики выходят к компьютеру и находят дроби)

6) Физкультминутка.

7) Задание № 1, с. 79 учебника – с комментированием.

Заполнить таблицу, описывая дробью закрашенную и не закрашенную часть фигур.

8) Практическая работа.

Задание №2, с. 80 учебника – изображение соответствующих дробей.

9) Закрепление.

А) Чтение дробей: задание № 3, с. 80 учебника.

Б) Проценты: задания 4, 5, с. 80 учебника.

В) Единицы измерения величин: задание № 7, с. 81учебника.

Г) Решение задач.

Слайд 18.

Дорога от Фабричного до Ильинского равна 8 км. Петя прошел 3 км. Какую часть дороги он прошел?

В бидон налили молоко. Какая часть бидона занята молоком?

Какую часть всех яблок положили в тарелку?

(Пригласить к компьютеру ученика)

Задача на логическое мышление.

Как разрезать головку сыра на 8 равных долей, сделав только 3 разреза?

Слайды 22–27.

Отметьте на координатном луче мигающую точку.

(Пригласить к компьютеру ученика)

10) Итог урока.

Расскажите, какие открытия сделали сегодня?

Что узнали нового?

Что называем дробью? Как записывают дробь?

Что обозначает дробная черта?

Как называются числа дроби? Что показывает числитель? Знаменатель дроби?

Приведите примеры дробей.

11) Домашнее задание: № 6, 9, с. 80-81 учебника.

, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели: знать термин “дробь”, его определение, уметь читать и записывать обыкновенные дроби, указывать знаменатель и числитель дроби, показывать соответствующую дробь геометрической фигуры; закреплять умение анализировать и решать задачи разного вида, соотношение единиц измерения величин; развивать речь, логическое мышление, память, внимание, навыки самоконтроля и самоанализа.

Оборудование: мультимедийная доска, проектор, презентация к уроку, учебник “Математика” - 4 класс, часть 1, под редакцией Л.Г. Петерсон.

Ход урока

1) Организационное начало.

Ребята, сегодня на уроке вы должны открыть новое знание, но как вам известно, каждое новое знание связано с тем, что мы уже изучили. Поэтому начнем с повторения. Перед тем, как приступить к работе вспомним: какие правила мы должны соблюдать на уроке? Ответы детей. Учитель выслушивает правила:

Слышать друг друга.

Дополнять.

Исправлять, помогать.

Вычислив значения выражений и расположив их в порядке возрастания, вы узнаете тему урока.

Как 1 разделить на 2? (Ответы детей)

Проблема?

4) Постановка учебной задачи.

Людям часто приходится делить целое на доли. Самая известная доля – это конечно, половина. Слово с приставкой “пол” можно услышать каждый день.

5) “Открытие” новых знаний.

Равные части арбуза – это доли. Арбуз разделили на 6 долей, то одна доля – “одна шестая арбуза”, а остальная часть – 5/6.

Отрезок разделили на 7 долей. Найти одну долю, две доли, пять долей, шесть долей, семь долей, восемь долей.

Записи вида 5/6 называют обыкновенными дробями. Числитель дроби – 5, знаменатель дроби – 6. Знаменатель дроби показывает на сколько долей делят, а числитель дроби – сколько таких долей взято.

Слайды 5-17.

Поиграем в игру “Доли”.

Найди дроби и щелкни по ней мышкой. (Ученики выходят к компьютеру и находят дроби)

6) Физкультминутка.

7) Задание № 1, с. 79 учебника – с комментированием.

Заполнить таблицу, описывая дробью закрашенную и не закрашенную часть фигур.

8) Практическая работа.

Задание №2, с. 80 учебника – изображение соответствующих дробей.

9) Закрепление.

А) Чтение дробей: задание № 3, с. 80 учебника.

Б) Проценты: задания 4, 5, с. 80 учебника.

В) Единицы измерения величин: задание № 7, с. 81учебника.

Г) Решение задач.

Слайд 18.

Дорога от Фабричного до Ильинского равна 8 км. Петя прошел 3 км. Какую часть дороги он прошел?

В бидон налили молоко. Какая часть бидона занята молоком?

Какую часть всех яблок положили в тарелку?

(Пригласить к компьютеру ученика)

Задача на логическое мышление.

Как разрезать головку сыра на 8 равных долей, сделав только 3 разреза?

Слайды 22–27.

Отметьте на координатном луче мигающую точку.

(Пригласить к компьютеру ученика)

10) Итог урока.

Расскажите, какие открытия сделали сегодня?

Что узнали нового?

Что называем дробью? Как записывают дробь?

Что обозначает дробная черта?

Как называются числа дроби? Что показывает числитель? Знаменатель дроби?

Приведите примеры дробей.

11) Домашнее задание: № 6, 9, с. 80-81 учебника.

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида и десятичные .

Числитель дроби — число, показывающее количество взятых долей (находится в верхней части дроби - над чертой). Знаменатель дроби — число, показывающее, на сколько долей разделена единица (находится под чертой - в нижней части). , в свою очередь делятся на: правильные и неправильные , смешанные и составные тесно связаны с единицами измерения. 1 метр содержит в себе 100 см. Что означает, что 1 м разделён на 100 равных долей. Таким образом, 1 см = 1/100 м (один сантиметр равен одной сотой метра).

или 3/5 (три пятых), здесь 3 — числитель, 5 — знаменатель. Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше единицы и называется правильной :

Если числитель равен знаменателю, дробь равна единице. Если числитель больше знаменателя, дробь больше единицы. В обоих последних случаях дробь называется неправильной :

Чтобы выделить наибольшее целое число , содержащееся в неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель. Если деление выполняется без остатка, то взятая неправильная дробь равна частному:

Если деление выполняется с остатком, то (неполное) частное дает искомое целое число, остаток же становится числителем дробной части; знаменатель дробной части остается прежним.

Число, содержащее целую и дробную части, называется смешанным . Дробная часть смешанного числа может быть и неправильной дробью . Тогда можно из дробной части выделить наибольшее целое число и представить смешанное число в таком виде, чтобы дробная часть стала правильной дробью (или вовсе исчезла).